Jawabanmu

2014-03-03T16:00:39+07:00
Persamaan Diferensial Linier Homogen orde-n dengan koefisien konstanta mempunyaibentuk umum:() + () + …+ + = 0 , ≠ 0Jika , ,…, adalah penyelesaian khusus PD Linier homogen, maka kombinasi liniernyajuga penyelesaian PD Linier homogen, dirumuskan: = + + …+ =, , ,…, = Penyelesaian PD Linier homogen orde-n dengan substitusi = sehingga didapatkanpersamaan karakteristik: + + …+ + = 0Untuk selanjutnya dengan teknik faktorisasi dapat ditentukan akar-akar persamaankarakteristik, yaitu: + + …+ + = ( − )( − )…( − ) = 0Akar-akar persamaan karakteristik di atas dapat bernilai sama atau disebut akar rangkap(multiplicity). Dua kasus akar rangkap untuk solusi PD Linier Homegen orde-n, yaitu:Kasus I. Jika Akar rangkap adalah r=bilangan riil, terdapat k penyelesaian bebas linier.k solusi bebas linier: !, ! !,…, !"# ! ; " ≥ #solusi umumnya:& = '# ! + '(! ! + …+ '"!"# !)* = − Kasus II. Jika Akar rangkap adalah r=bilangan komplek (r=a±ib). terdapat k penyelesaianbebas linier.k solusi bebas linier:α!'+, β!, !α!'+, β!,…, !"#α!'+, β!,α!,-. β!,!α!,-. β!,…, !"#α!,-. β!solusi umumnya:& = α! /('#'+, β! + '(,-. β!) + !('0'+, β! + '1,-. β!) +⋯+ !"#('"#'+, β! + '",-. β!)3Contoh:Selesaikan persamaan diferensial berikut:(4) − 3(6) + 3′′′ − ′′ = 0Penyelesaian:persamaan karakteristik:4 − 36 + 37 − = 0Mencari akar-akar persamaan karakteristik dengan MATLAB:>> y=[1 -3 3 -1 0 0]y =1 -3 3 -1 0 0>> roots(y)ans =001.0000 + 0.0000i1.0000 - 0.0000i1.0000Jadi akar-akar persamaan karakteristik = = 0, 7 = 6 = 4 = 1solusi bebas linier:,9,, 9,9Jadi solusi umumnya: = ) + )9 + ()7 + )69 + )49)Contoh:Tentukan penyelesaian PD berikut:′′′ − 2′′ − ′ + 2 = 0persamaan karakteristik:7 − 2 + + 2 = 0akar-akar persamaan karakteristik dengan MATLAB>> y=[1 -2 -1 2]y =1 -2 -1 2>> roots(y)ans =-1.00002.00001.0000Jadi akar-akar persamaan karakteristik: = −1, = 1, 7 = 2solusi bebas linier:, , Jadi solusi umumnya: = ) + ) + )7Contoh:Tentukan penyelesaian PD berikut:(6) − 4′′′ + 14′′ − 20′ + 25 = 0persamaan karakteristik:6 − 47 + 14 − 20 + 25 = 0akar-akar persamaan karakteristik dengan MATLAB>> y=[1 -4 14 -20 25]y =1 -4 14 -20 25>> roots(y)ans =1.0000 + 2.0000i1.0000 - 2.0000i1.0000 + 2.0000i1.0000 - 2.0000iJAdi akar-akar persamaan karakteristik = = 1 + 2=, 7 = 6 = 1 − 2=solusi bebas linier:)(29), 9)(29), =(29), 9=(29)Jadi solusi umumnya: = ))(29) + )9)(29) + )7=(29) + )69=(29)